Задачи на составление систем уравнений
📐 Алгебра · 7 класс
Как переводить условие текстовой задачи на язык системы из двух уравнений.
Задачи на составление систем уравнений
Задачи на составление систем уравнений — это текстовые задачи, в которых неизвестных две, и для их нахождения удобно ввести две переменные и записать два уравнения. Такие задачи решают по общему плану: вводят обозначения, составляют систему, решают её и проверяют ответ по смыслу задачи.
Общий план решения
- Обозначить неизвестные буквами, например
xиy. - По условию задачи составить два уравнения, связывающие эти переменные.
- Решить систему методом подстановки или сложения.
- Проверить, подходит ли ответ по смыслу задачи, и записать ответ с наименованиями.
Разобранный пример
В двух коробках лежит 30 карандашей. В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке?
Пусть в первой коробке x карандашей, во второй — y. Составим систему:
x + y = 30
x - y = 6
Сложим уравнения: 2x = 36, значит x = 18. Тогда y = 30 - 18 = 12.
Ответ: в первой коробке 18 карандашей, во второй — 12.
Типичные виды условий
| Фраза в условии | Уравнение |
|---|---|
| сумма равна 30 | x + y = 30 |
| на 6 больше | x - y = 6 |
| в 3 раза больше | x = 3y |
| вместе стоят 100 рублей | x + y = 100 |
Как переводить слова в уравнения
Слово «сумма» или «всего» обычно даёт уравнение со знаком плюс. Фраза «на столько-то больше» превращается в разность. Слова «во столько-то раз больше» дают уравнение с умножением. Внимательное чтение условия — половина решения.
Частые ошибки. Нельзя пропускать введение обозначений — без чёткого «пусть x — это...» легко запутаться. Проверяйте ответ по смыслу: число карандашей или людей не может быть отрицательным или дробным. Не забывайте писать наименования в ответе.Зачем нужны две переменные
Иногда задачу можно решить и одной переменной, но с двумя переменными условие записывается нагляднее и ближе к тексту. Это особенно полезно в задачах на смеси, движение и стоимость, где связей между величинами несколько.
Ещё один разобранный пример
Два билета в кино и одна порция попкорна стоят 700 рублей, а один билет и одна порция попкорна — 450 рублей. Сколько стоит билет и сколько попкорн?
Пусть билет стоит x рублей, попкорн — y рублей. Составим систему:
2x + y = 700
x + y = 450
Вычтем второе уравнение из первого: x = 250. Тогда y = 450 - 250 = 200. Ответ: билет стоит 250 рублей, попкорн — 200 рублей.
Почему важна проверка по смыслу
После решения системы всегда полезно спросить себя, разумен ли ответ. Если бы при решении получилось отрицательное число карандашей или дробное число людей, это сигнал об ошибке в составлении уравнений. Математическое решение и здравый смысл должны совпадать.
До систем уравнений: условие, вопрос и выбор действий
Младшему школьнику не требуется вводить две переменные для каждой истории. Сначала полезно научиться выделять известное, неизвестное и связь между ними. Затем та же логика поможет составлять системы. Это возрастной мост, а не требование изучать алгебру заранее.
Редакционная задача
У Лиды 8 наклеек, у Ромы на 3 наклейки меньше. Сколько наклеек у ребят вместе? Известны число Лиды и разница; непосредственно число Ромы не дано.
| Краткая запись | Лида — 8; Рома — на 3 меньше; вместе — ? |
|---|---|
| Сначала находим | Число наклеек Ромы: 8 − 3 = 5 |
| Затем отвечаем | Число всех наклеек: 8 + 5 = 13 |
Запись с наименованиями: 1) 8 − 3 = 5 (накл.) — у Ромы; 2) 8 + 5 = 13 (накл.) — вместе. Ответ: 13 наклеек. Проверка: у Ромы действительно на 3 меньше, 8 − 5 = 3.
Почему нельзя выбирать действие только по одному слову
В задаче есть «меньше», но последнее действие — сложение, поскольку спрашивают об общем количестве. Если изменить вопрос на «сколько у Ромы?», будет достаточно первого действия. Если спросить «на сколько у Лиды больше?», ответ уже дан в условии. Всегда читайте весь вопрос, а не только заметное слово.
Что делать, если данных не хватает
Текст «У Лиды 8 наклеек, у Ромы меньше. Сколько у них вместе?» не позволяет найти единственное число. Рома может иметь 7, 6 или другое меньшее число. Нужно уточнить, сколько у Ромы или на сколько меньше. Не придумывайте недостающее данное ради удобного решения.
Как перейти к системе позже
Тот же сюжет можно записать x = 8, y = x − 3 и вычислить x + y. В более сложной задаче вместо известного x = 8 появится связь, например общая сумма. Переменная не меняет смысл отношений, а делает запись компактнее.
Для начала достаточно рисунка, отрезков или таблицы. Образец оформления уточните у учителя, сохраняя понятный ход решения. Для дальнейшего шага есть системы линейных уравнений и уравнение с одной переменной. Выбор метода должен помогать видеть условие, а не делать простую задачу сложнее.
Кратко о главном
- Неизвестные обозначают буквами
xиy. - По условию составляют два уравнения и решают систему.
- «Сумма» даёт плюс, «на больше» — разность, «в раз больше» — умножение.
- Ответ проверяют по смыслу задачи.
- В ответе указывают наименования величин.