Алгебра · 8 класс

Что такое рациональная дробь

Рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой многочлены. Область допустимых значений, основное свойство, сокращение, сложение и умножение дробей с примерами за 8 класс.

Действия с рациональными дробями

Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей.

Квадратный корень: свойства и как решать

Квадратный корень из числа a — число, квадрат которого равен a: √16 = 4. Свойства корней: √(ab) = √a·√b, √(a/b) = √a/√b. Как извлекать корень, вынесение множителя, примеры для 8 класса.

Преобразования выражений с корнями

Вынесение множителя из-под корня, введение под корень, рационализация.

Квадратное уравнение

Полное и неполное квадратное уравнение. Дискриминант. Формула корней.

Теорема Виета

Связь корней квадратного уравнения с коэффициентами. Разложение на множители.

Квадратные неравенства

Решение квадратных неравенств через знак дискриминанта и параболу.

Квадратичная функция

График параболы, ось симметрии, вершина, направление ветвей.

Системы с квадратными уравнениями

Системы уравнений, одно из которых квадратное. Графический метод.

Степень с целым отрицательным показателем

Что такое степень с отрицательным показателем, как она связана с дробями и по каким правилам с ней работать.

Стандартный вид числа

Как записывать очень большие и очень малые числа в стандартном виде и зачем это нужно в науке и технике.

Неполные квадратные уравнения 8 класс: примеры

Неполное квадратное уравнение — уравнение, в котором b = 0 или c = 0: ax² = 0, ax² + c = 0, ax² + bx = 0. Как решать каждый вид без дискриминанта, примеры с решением для 8 класса.

Дробные рациональные уравнения

Как решать уравнения с переменной в знаменателе и почему обязательно проверять область допустимых значений.

Числовые неравенства и их свойства

Что означают знаки сравнения чисел и какие свойства неравенств позволяют преобразовывать их без ошибок.

Линейные неравенства с одной переменной

Как решать линейные неравенства, изображать ответ на числовой прямой и записывать его в виде промежутка.

Функция квадратного корня и её график

Свойства функции квадратного корня, форма её графика-ветви параболы и область определения функции.

Сокращение рациональных дробей

Как раскладывать числитель и знаменатель на множители и сокращать дробь, учитывая область допустимых значений.

Вынесение множителя из-под знака корня

Приём упрощения квадратных корней: выделение полного квадрата и вынесение множителя за знак радикала.

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Как избавиться от корня в знаменателе дроби домножением на нужный множитель или на сопряжённое выражение.

Дискриминант и формула корней квадратного уравнения

Что такое дискриминант, как по его знаку определить число корней и найти их по общей формуле.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Как разложить квадратный трёхчлен на линейные множители через его корни и применить это к дробям.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Как составлять и решать квадратные уравнения в задачах на движение, работу, площади и числа.

Метод интервалов

Универсальный способ решения квадратных и дробно-рациональных неравенств с помощью числовой прямой и знаков.

Числовые промежутки

Виды промежутков, их обозначение, изображение на координатной прямой и пересечение с объединением.

Приближённые вычисления и погрешность

Округление, абсолютная и относительная погрешность приближённого значения и оценка результата.

Функция обратной пропорциональности и её график

Функция вида игрек равен ка делить на икс, её свойства и график — гипербола в двух четвертях.

Основное свойство рациональной дроби

Основное свойство рациональной дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен — значение дроби не изменится. Сокращение дробей, примеры 8 класса.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как привести алгебраические дроби к общему знаменателю и сложить их.

Умножение и деление рациональных дробей

Правила перемножения дробей и деления через умножение на обратную.

Квадратный корень из произведения и дроби

Свойства арифметического квадратного корня для произведения и частного.

Тождество корня из квадрата (модуль)

Почему корень из квадрата числа равен его модулю и как это применять.

Уравнение вида икс в квадрате равно а

Сколько корней имеет простейшее квадратное уравнение в зависимости от знака числа.

Приведённое квадратное уравнение

Приведённое квадратное уравнение — уравнение вида x² + px + q = 0, где старший коэффициент равен 1. Как привести уравнение, теорема Виета для подбора корней, примеры для 8 класса.

Формула корней при чётном втором коэффициенте

Упрощённая формула решения квадратного уравнения через четверть дискриминанта.

Задачи на движение, сводящиеся к квадратным уравнениям

Как составить уравнение по условию задачи на скорость, время и расстояние.

График функции игрек равно икс в квадрате

Свойства простейшей параболы и её роль для квадратичной функции.

Степенная функция с натуральным показателем

Графики и свойства функций при чётном и нечётном показателе степени.

Свойства степени с целым показателем

Правила действий со степенями, у которых показатель — любое целое число.

Выделение полного квадрата из трёхчлена

Как преобразовать квадратный трёхчлен к виду квадрат суммы плюс число и зачем это нужно.

Координаты вершины параболы

Формулы для нахождения вершины параболы и построение графика квадратичной функции по ней.

Нули функции и точки пересечения с осями

Как находить нули функции и точки пересечения графика с осями координат.

Теорема, обратная теореме Виета

Как по сумме и произведению подбирать корни и составлять квадратное уравнение.

Биквадратные уравнения: как решать, примеры

Биквадратное уравнение — это уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0; решается заменой x² = t и сводится к квадратному. Алгоритм, отбор корней, 5 решённых примеров для 8 класса.

Уравнения с модулем

Раскрытие модуля по определению и решение простейших уравнений с модулем.

Неравенства с модулем

Решение неравенств с модулем через геометрический смысл и равносильные переходы.

Системы линейных неравенств с одной переменной

Как находить пересечение решений нескольких линейных неравенств.

Что такое двойное неравенство и как его решать

Двойное неравенство — это запись вида a < x < b, объединяющая два неравенства. Как решать: выполняем одинаковые действия со всеми частями; при умножении на отрицательное число знаки меняются.

Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Понятие средних величин и неравенство между средним арифметическим и геометрическим.

Как найти область определения функции 8 класс

Область определения функции — все значения x, при которых функция имеет смысл: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно. Алгоритм и разобранные примеры для 8 класса.

Что такое кубический корень

Кубический корень из числа a — число, куб которого равен a: ∛27 = 3, ∛(−8) = −2. Свойства, функция y = ∛x и её график, таблица кубов, примеры для 8 класса.

Сложение и вычитание квадратных корней

Как складывать и вычитать корни, приводя их к подобным радикалам.

Умножение и деление квадратных корней

Правила умножения и деления арифметических квадратных корней.

Сравнение значений выражений с корнями

Способы сравнивать числа, содержащие квадратные корни, без калькулятора.

Оценка значения квадратного корня

Как находить целую часть и приближённое значение квадратного корня.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решение уравнений заменой переменной, приводящей к квадратному.

Задачи на совместную работу через квадратные уравнения

Как составлять и решать уравнения в задачах о совместной работе.

Задачи на смеси, сплавы и проценты

Решение текстовых задач о смесях и сплавах с помощью уравнений.

График функции игрек равно модуль икс

Построение и свойства графика функции с модулем переменной.

Преобразование графиков: сдвиг вдоль осей

Как сдвиги графика влево-вправо и вверх-вниз меняют формулу функции.

Возрастание и убывание функции

Понятие промежутков монотонности и как их находить по графику.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Поиск экстремальных значений функции на промежутке и в вершине параболы.

Рациональные и иррациональные числа

Чем отличаются рациональные и иррациональные числа и как их распознавать.

Рациональные выражения 8 класс: примеры

Рациональное выражение — выражение из чисел и переменных без корней из переменных; иррациональное содержит знак корня. Целые и дробные рациональные выражения, ОДЗ, примеры и задания.

ОДЗ 8 класс: как найти область допустимых значений

ОДЗ — это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл: знаменатель не равен нулю, под корнем неотрицательное число. Алгоритм и 6 примеров для 8 класса.

Тождественные преобразования выражений

Что такое тождество и какие преобразования сохраняют равенство выражений при всех значениях переменной.

Уравнения с двумя модулями

Как решать уравнения, в которых стоят два знака модуля, методом промежутков и раскрытия знаков.

График функции игрек равно а делить на икс

Как строить и читать график обратной пропорциональности при разных значениях коэффициента.

Свойства квадратичной функции

Полный разбор свойств параболы: вершина, направление ветвей, монотонность, нули и ось симметрии.

Построение графика квадратичной функции

Пошаговый алгоритм построения параболы по коэффициентам, вершине и нескольким контрольным точкам.

Решение неравенств методом параболы

Как решать квадратные неравенства с опорой на эскиз параболы и расположение её ветвей.

Теорема Виета для приведённого уравнения

Как применять теорему Виета к уравнению со старшим коэффициентом единица для устного подбора корней.

Графический способ решения уравнений

Как находить корни уравнения по точкам пересечения графиков двух функций.

Преобразование выражений с двойным корнем

Как упрощать выражения вида корень из суммы с корнем, выделяя полный квадрат под знаком корня.

Уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным

Как с помощью преобразований и замены переменной сводить сложные уравнения к знакомым линейным и квадратным.

Задачи на проценты и концентрацию

Как решать текстовые задачи на проценты, доли вещества и концентрацию растворов в восьмом классе.

Целая и дробная часть числа

Что такое целая и дробная часть числа, их свойства и применение в простых уравнениях.

Полуинвариант: как доказать завершение процесса

Полуинвариант — величина, которая при разрешённых действиях меняется только в одну сторону или остаётся прежней. Если она строго изменяется при каждом ходе, её называют строгим пол