Равносильные логические высказывания
💻 Информатика · 6 класс
Когда два высказывания считают равносильными и как это проверить по таблице истинности.
Равносильные высказывания
В логике высказывание — это предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Сложные высказывания строят из простых с помощью логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ». Иногда два по-разному записанных высказывания всегда дают один и тот же ответ. Такие высказывания называют равносильными (или равнозначными).
Когда высказывания равносильны
Два высказывания равносильны, если при любых значениях входящих в них простых высказываний их истинность совпадает. Проще говоря, что бы мы ни подставили, оба высказывания либо истинны вместе, либо ложны вместе. Если хотя бы в одном случае ответы разойдутся, высказывания не равносильны. Проверить совпадение во всех случаях помогает таблица истинности.
Проверка по таблице
Сравним два высказывания: «не (А и Б)» и «(не А) или (не Б)». Построим таблицу для всех сочетаний А и Б, где И — истина, Л — ложь. Сочетаний всего четыре, потому что каждое из двух высказываний может быть истинным или ложным.
| А | Б | не(А и Б) | (не А) или (не Б) |
|---|---|---|---|
| И | И | Л | Л |
| И | Л | И | И |
| Л | И | И | И |
| Л | Л | И | И |
Вывод из таблицы
Сравним два последних столбца. В первой строке оба дают Л, в остальных трёх — оба дают И. Значения совпали в каждой строке, значит, эти высказывания равносильны: их можно заменять друг на друга, и смысл от этого не изменится.
не (А и Б) = (не А) или (не Б)Это известное правило: отрицание «И» превращается в «ИЛИ», в котором отрицается каждая часть. Есть и парное правило: отрицание «ИЛИ» превращается в «И» с отрицаниями. Такие равносильности помогают упрощать сложные логические выражения.
Зачем нужна равносильность
Знание равносильностей полезно на практике. Длинное и запутанное логическое условие можно заменить более коротким, но равносильным — и алгоритм станет понятнее, а работать будет так же. Например, условие «не (число больше нуля и число меньше десяти)» можно переписать через «или», и читать его будет легче. Главное при таких заменах — следить, чтобы новое условие давало те же ответы, что и старое, во всех случаях. Проверить это всегда можно по таблице истинности, сравнив столбцы исходного и нового выражений.
Правило. Чтобы доказать равносильность, недостаточно проверить один случай. Нужно сравнить ответы во всех строках таблицы истинности: совпадение хотя бы в одной строке ещё ничего не доказывает, а вот несовпадение в одной строке сразу опровергает равносильность.
Кратко о главном
- Высказывание может быть истинным или ложным.
- Равносильные высказывания дают одинаковый ответ при любых значениях частей.
- Равносильность проверяют, сравнивая столбцы таблицы истинности.
- Совпадение должно быть во всех строках таблицы, а не в одной.