Задачи на встречное движение

Движение навстречу друг другу

В 4 классе разбирают задачи, где два объекта — например, два пешехода, два велосипедиста или две машины — выходят из разных мест и движутся навстречу друг другу. Чтобы решать такие задачи, вспомним связь трёх величин движения: расстояние = скорость · время. Из этой формулы можно найти любую из величин, если две другие известны: скорость = расстояние : время, а время = расстояние : скорость.

Скорость сближения

Когда два объекта идут навстречу, расстояние между ними всё время уменьшается. За каждую единицу времени они сближаются на сумму своих скоростей. Эту сумму называют скоростью сближения.

скорость сближения = скорость первого + скорость второго

Если велосипедист едет со скоростью 12 км/ч навстречу другому, который едет со скоростью 8 км/ч, то за каждый час они становятся ближе на 12 + 8 = 20 километров. Это и есть скорость сближения — как будто навстречу неподвижному объекту движется один «общий» велосипедист со скоростью 20 км/ч.

Основные формулы

Разбор задачи

Из двух посёлков навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода. Скорость одного 5 км/ч, другого 4 км/ч. Расстояние между посёлками 27 км. Через сколько часов они встретятся?

5 + 4 = 9 (км/ч — скорость сближения)
27 : 9 = 3 (ч — время до встречи)
Ответ: пешеходы встретятся через 3 часа.

Можно узнать и путь каждого пешехода до места встречи: первый пройдёт 5 · 3 = 15 км, второй — 4 · 3 = 12 км. Сделаем проверку: 15 + 12 = 27 км — это всё расстояние между посёлками, значит, задача решена верно. Заметьте, что более быстрый пешеход проходит больший путь — это естественно.

Обратная задача

Иногда известно время встречи и нужно найти расстояние. Пусть два поезда вышли навстречу со скоростями 60 км/ч и 70 км/ч и встретились через 2 часа. Тогда расстояние между станциями: скорость сближения 60 + 70 = 130 км/ч, а всё расстояние 130 · 2 = 260 км.

Частые ошибки. При встречном движении скорости складывают, а не вычитают — вычитание используют в других задачах, на движение вдогонку. Важно также, чтобы оба объекта вышли одновременно. Если один вышел раньше, сначала нужно учесть, какой путь он успел пройти до старта второго, и только потом считать сближение.

Кратко о главном

• При встречном движении расстояние между объектами уменьшается.
• Скорость сближения — это сумма скоростей.
• Время до встречи — расстояние делят на скорость сближения.
• Расстояние — скорость сближения умножают на время.
• Решение удобно проверять: сумма путей равна всему расстоянию.