Множества и общие свойства объектов
💻 Информатика · 5 класс
Что такое множество, элемент и общий признак, по которому объекты объединяют в группы.
Что такое множество
Когда вокруг много объектов, их удобно объединять в группы по общему признаку. Такую группу называют множеством. Множество — это набор объектов, собранных вместе по какому-то общему свойству. Каждый объект множества называют его элементом.
Общий признак объектов
Чтобы собрать множество, нужно выбрать общий признак — свойство, которое есть у всех его элементов. Например, множество «гласные буквы» содержит буквы, у которых общий признак — они гласные. Объекты без этого признака в множество не входят.
- Элемент — объект, входящий в множество.
- Общий признак — свойство, по которому объекты объединяют.
- Один объект может входить сразу в несколько множеств.
Множества могут пересекаться
Объект может обладать сразу несколькими признаками и потому входить в разные множества. Яблоко входит и в множество «фрукты», и в множество «красные предметы», если оно красное.
| Множество | Общий признак | Примеры элементов |
|---|---|---|
| Овощи | Растут на грядке | Морковь, лук, огурец |
| Цифры | Знаки для записи чисел | 0, 1, 2, 9 |
| Домашние животные | Живут рядом с человеком | Кошка, собака, корова |
Разбор примера
Разделим объекты на множества по признаку «умеет летать»:
Объекты: воробей, кит, самолёт, кошка, бабочка
Множество «летает»: воробей, самолёт, бабочка
Множество «не летает»: кит, кошка
Пустое множество и количество элементов
Иногда по выбранному признаку не находится ни одного объекта. Тогда множество называют пустым. Например, множество «ученики нашего класса ростом выше трёх метров» пустое, потому что таких людей нет. Множество может содержать один элемент, много элементов и даже бесконечно много, как множество всех чисел.
Чтобы сравнить два множества, можно посчитать, сколько в каждом элементов. В множестве «дни недели» семь элементов, а в множестве «времена года» — четыре. Значит, дней недели больше, чем времён года.
| Множество | Сколько элементов |
|---|---|
| Времена года | 4 |
| Дни недели | 7 |
| Гласные буквы русского алфавита | 10 |
Как множества помогают наводить порядок
Разбивая объекты на множества, человек наводит порядок. В магазине товары разложены по множествам: овощи к овощам, игрушки к игрушкам. В библиотеке книги объединены в множества по темам. Благодаря этому нужный объект легко найти, ведь достаточно знать, в какое множество он входит.
Частая ошибка. Признак должен быть чётким, чтобы про любой объект можно было точно сказать, входит он в множество или нет. Признак «красивые предметы» плохой: разным людям красивым кажется разное.
Как обозначают количество элементов
Для конечного множества A запись |A| означает число его различных элементов — мощность. Например, A = {2,4,6}, поэтому |A| = 3. Повторная запись элемента не создаёт нового: {2,2,4,6} задаёт то же множество.
У пустого множества ∅ нет элементов, значит, |∅| = 0. Множество {∅} другое: в нём один элемент — пустое множество, поэтому |{∅}| = 1. Не смешивайте пустую коробку с набором, содержащим одну пустую коробку.
Дальше: числовые множества
| Обозначение | Какие числа входят | Пример |
|---|---|---|
| ℕ | Натуральные, в принятой здесь школьной записи от 1 | 1,2,3 |
| ℤ | Целые, включая отрицательные и ноль | −3,0,7 |
| ℚ | Дроби p/q с целыми p,q и q ≠ 0 | 1/2, −4, 0,25 |
| ℝ | Действительные: рациональные и иррациональные | √2, π и все рациональные |
| ℂ | Комплексные a + bi, где i² = −1 | 2 + 3i |
Выполняется вложение ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ. Например, −4 не натуральное, но оно целое, рациональное (−4/1) и действительное. Число √2 действительное, но не рациональное. При этом √4 = 2 — рациональное: знак корня сам по себе не делает число иррациональным.
Знак элемента и знак подмножества
Запись 3 ∈ ℕ говорит, что число 3 — элемент. Запись ℕ ⊂ ℤ говорит, что каждый натуральный элемент входит в целые. Нельзя механически менять ∈ и ⊂ местами: число и множество играют разные роли.
В некоторых источниках натуральные числа включают 0. Перед решением проверьте соглашение учебника; в таблице выше явно выбрана запись от 1. Формула количества элементов относится к конечным наборам; бесконечные множества сравнивают отдельными методами.
Справочные материалы: Что такое множество — исходная тема; Что такое множество — исходная тема. Связанные уроки: Метод координат, Алгоритмы и их эффективность.
Кратко о главном
- Множество — это группа объектов с общим признаком.
- Объект множества называют элементом.
- Один объект может входить в несколько множеств.
- Признак для множества должен быть чётким и проверяемым.