Перевод чисел в двоичную систему
💻 Информатика · 7 класс
Как переводить целые числа из десятичной системы в двоичную и обратно методом деления на два.
Что такое перевод чисел в двоичную систему
Перевод числа в двоичную систему счисления — это запись того же количества с помощью только двух цифр: 0 и 1 . Компьютер хранит и обрабатывает все данные именно в двоичном виде, с помощью двоичного кодирования. Логическим значениям 0 и 1 сопоставляют различимые сигналы; физическая ячейка памяти не обязательно имеет только два состояния. Поэтому умение переводить числа между десятичной и двоичной системами — основа понимания того, как машина работает с числами.
Десятичная и двоичная системы
В привычной нам десятичной системе используется десять цифр, а основание системы равно числу десять. В двоичной системе основание равно двум, а цифр всего две. Значение каждого разряда зависит от его позиции: в двоичной записи позиции соответствуют степеням двойки — единицам, двойкам, четвёркам, восьмёркам и так далее.
| Разряд | Четвёртый | Третий | Второй | Первый |
|---|---|---|---|---|
| Вес разряда | 8 | 4 | 2 | 1 |
Перевод из десятичной системы в двоичную
Самый надёжный способ — деление на два с остатком. Число делят на два, записывают остаток (он всегда равен 0 или 1), затем делят на два частное и снова записывают остаток. Так продолжают, пока частное не станет равным нулю. Двоичная запись получается из остатков, прочитанных снизу вверх.
Правило: остатки от деления на два читаются в обратном порядке — последний полученный остаток становится старшим (первым) разрядом двоичного числа.
Разобранный пример
Переведём десятичное число 13 в двоичную систему:
13 : 2 = 6, остаток 1
6 : 2 = 3, остаток 0
3 : 2 = 1, остаток 1
1 : 2 = 0, остаток 1
Читаем остатки снизу вверх: 1101
Значит, 13 в десятичной = 1101 в двоичнойПеревод из двоичной системы в десятичную
Чтобы выполнить обратный перевод, каждую цифру умножают на вес её разряда и складывают результаты. Для числа 1101 получаем: восемь умножить на единицу, плюс четыре умножить на единицу, плюс два умножить на ноль, плюс один умножить на единицу. В сумме это даёт тринадцать.
| Десятичное | Двоичное |
|---|---|
| 2 | 10 |
| 5 | 101 |
| 8 | 1000 |
| 10 | 1010 |
Почему компьютер использует двоичную систему
В двоичных логических схемах значениям 0 и 1 сопоставляют различимые диапазоны сигналов. Это удобная модель для выполнения логических операций; не каждую физическую деталь компьютера описывают двумя состояниями. Эти два состояния естественно обозначить цифрами 1 и 0 . Если бы потребовалось различать десять разных уровней сигнала, как в десятичной системе, схемы стали бы намного сложнее и работали бы менее надёжно. Поэтому двоичная система оказалась самой удобной для техники: она проста для электроники и при этом позволяет записать любое число.
Сравнение записи числа в разных системах
Одно и то же количество в двоичной системе записывается длиннее, чем в десятичной, потому что в каждом разряде помещается меньше информации. Зато для машины такая запись удобнее. Чтобы быстро ориентироваться, полезно помнить двоичные записи небольших чисел и степени двойки: один, два, четыре, восемь, шестнадцать и так далее. Знание степеней двойки ускоряет и прямой, и обратный перевод.
Частые ошибки
Не путайте порядок остатков: если прочитать их сверху вниз, получится неверное число. Также нельзя забывать записывать остаток 0 — пропуск нуля сдвигает все разряды.Почему длинная двоичная запись удобна схеме
В двоичной записи у каждой позиции только два возможных значения. Для логических схем удобно различать два диапазона электрического сигнала и сопоставлять им 0 и 1. Реальный сигнал при этом не обязан быть буквально «электричество есть/нет»: важно, чтобы устройство надёжно распознавало допустимые уровни.
Плюсы для техники, трудности для человека
| Свойство | Польза | Ограничение |
|---|---|---|
| Два символа | Удобная основа логических операций | Большие числа требуют много разрядов |
| Позиционная запись | Единые правила арифметики и преобразований | Пропущенный ноль меняет значение |
| Группировка битов | Позволяет компактно читать запись через шестнадцатеричные цифры | Нужно помнить, в какой системе дано число |
Например, десятичное 17 записывается как 10001₂: 16 + 1. Пять двоичных цифр выглядят длиннее двух десятичных. Но из этого не следует, что выбор двоичной арифметики автоматически «расходует больше памяти, чем десятичная»: десятичные цифры тоже пришлось бы кодировать в реальном устройстве, и сравнивать нужно конкретные способы хранения.
Короткая запись для человека
Одна шестнадцатеричная цифра соответствует четырём битам. Цепочку 1111 0000 удобно записать как F0₁₆; в десятичной системе это 240. Смысл числа не меняется, меняется форма записи. Это помогает читать машинные данные без длинных рядов нулей и единиц.
Не переносите модель двух состояний на каждую физическую ячейку памяти: некоторые технологии различают несколько уровней и хранят больше одного бита в ячейке. А двоичное кодирование само по себе не исключает ошибок — для их обнаружения и исправления нужны дополнительные способы.
Проверка: 10010₂ равно 18, а 1010₂ — 10. Пропуск нуля изменил разрядные веса, а не просто сократил красивую запись.
Справочные материалы: Что такое перевод чисел в двоичную систему — исходная тема. Связанные уроки: Циклы с известным числом повторений, Что такое формат файла.
Кратко о главном
- Двоичная система использует только цифры
0и1, её основание равно двум. - Перевод в двоичную систему выполняют делением на два с остатком.
- Остатки читают снизу вверх — от последнего к первому.
- Обратный перевод выполняют умножением цифр на веса разрядов и сложением.