Свободные и вынужденные механические колебания, резонанс

Свободные и вынужденные механические колебания, резонанс

Колебания — движения, повторяющиеся через равные промежутки времени. Если колебания происходят за счёт запасённой энергии без внешнего воздействия, их называют свободными. Простейший вид — гармонические колебания, при которых координата меняется по закону синуса или косинуса: x = A·cos(омега·t + фи_0).

Основные характеристики

• Амплитуда A — наибольшее отклонение от положения равновесия.
• Период T — время одного полного колебания.
• Частота ню = 1/T (герцы), циклическая частота омега = 2·пи / T.

Маятники

Для математического маятника (груз на нити): T = 2·пи·корень(L / g). Для пружинного маятника (груз на пружине): T = 2·пи·корень(m / k). Период математического маятника не зависит от массы, а пружинного — не зависит от ускорения свободного падения.

Маятник	Период	От чего зависит
Математический	T = 2·пи·корень(L / g)	длина, ускорение g
Пружинный	T = 2·пи·корень(m / k)	масса, жёсткость k

Превращение энергии и затухание

При колебаниях кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно; полная механическая энергия E = k·A^2 / 2 сохраняется только в идеальном случае. Из-за трения реальные свободные колебания затухают — амплитуда уменьшается.

Вынужденные колебания и резонанс

Вынужденные колебания поддерживаются внешней периодической силой. Когда частота этой силы совпадает с собственной частотой системы, наступает резонанс — резкое возрастание амплитуды. Резонанс полезен (часы, музыкальные инструменты), но может быть и опасен (раскачивание мостов, разрушение конструкций).

Условие гармонических колебаний

Колебания будут гармоническими, если возвращающая сила пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия: F = -k·x. Тогда ускорение тоже меняется по гармоническому закону: a = -омега^2·x. Именно так ведут себя пружинный маятник и (при малых углах) математический маятник.

Фаза колебаний

Величину фи = омега·t + фи_0 называют фазой колебания; она определяет состояние системы в данный момент. фи_0 — начальная фаза. Два колебания могут идти в фазе (совпадают) или в противофазе (сдвинуты на половину периода) — это важно при сложении колебаний.

Разобранный пример

Дано: математический маятник, L = 1 м, g = 9,8 м/с^2. Период: T = 2·пи·корень(L/g) = 2·3,14·корень(1 / 9,8) T = 6,28·корень(0,102) = 6,28·0,319 ≈ 2,0 с. Частота: ню = 1/T = 1/2 = 0,5 Гц. Ответ: T ≈ 2,0 с, ню = 0,5 Гц.

Чтобы период увеличить вдвое (до 4 с), длину нити нужно увеличить в четыре раза — до 4 м, так как период пропорционален корню из длины.

Частые ошибки. Период математического маятника не зависит от массы груза и амплитуды (при малых углах). Резонанс возникает только при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой, а не при максимальной силе.

Как получить уравнение движения пружинного маятника

Рассмотрим груз массы m на горизонтальной невесомой пружине жёсткости k. Сопротивлением пренебрегаем, пружина подчиняется закону Гука, координату x отсчитываем от равновесия. Возвращающая сила F = −kx. Второй закон Ньютона даёт m x'' = −kx, или x'' + (k/m)x = 0. Два штриха означают вторую производную координаты по времени — ускорение.

Решение: x(t) = A cos(ωt + φ₀), где ω = √(k/m). Скорость v(t) = −Aω sin(ωt + φ₀), ускорение a(t) = −ω²x(t). Это не три независимых закона: скорость и ускорение получены из одной функции координаты.

Редакционный пример с начальными условиями

Пусть m = 0,50 кг, k = 200 Н/м. Груз отклонили на 0,040 м и отпустили без толчка при t = 0. Тогда ω = √400 = 20 рад/с, A = 0,040 м, φ₀ = 0. Получаем x = 0,040 cos(20t) м, v = −0,80 sin(20t) м/с.

Период T = 2π/20 ≈ 0,314 с. При t = T/4 груз в равновесии: x = 0, v = −0,80 м/с. Отрицательная скорость означает выбранное направление движения, а не отрицательную быстроту. Полная энергия kA²/2 = 0,16 Дж; в равновесии mv²/2 = 0,16 Дж — проверка совпала.

А если пружина вертикальная

Тяжесть смещает положение равновесия на mg/k. Если x отсчитывать от этого нового положения, возвращающая результирующая снова равна −kx; в той же идеальной модели период остаётся 2π√(m/k). Отсчёт от ненапряжённой длины потребует добавить постоянное смещение. Значительное трение, большая масса пружины или выход за закон Гука изменяют модель.

Справочные материалы: Свободные и вынужденные механические колебания, резонанс — исходная тема. Связанные уроки: Что такое колебательный контур, Механическая работа.

Кратко о главном

• Гармонические колебания: x = A·cos(омега·t + фи_0), омега = 2·пи / T.
• Математический маятник: T = 2·пи·корень(L / g).
• Пружинный маятник: T = 2·пи·корень(m / k).
• Резонанс — рост амплитуды при совпадении частоты силы с собственной частотой.