Уравнение Менделеева — Клапейрона

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение Менделеева — Клапейрона связывает давление, объём, температуру и количество вещества идеального газа. Это основное уравнение, описывающее состояние газа, и оно объединяет все частные газовые законы в одну общую формулу. Его называют уравнением состояния идеального газа.

Уравнение записывается так:

Здесь p — давление газа, V — его объём, m — масса газа, M — молярная масса, T — абсолютная температура, R — универсальная газовая постоянная. Уравнение справедливо для идеального газа, в котором пренебрегают размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии.

Универсальная газовая постоянная

Величина R одинакова для всех идеальных газов и равна R = 8,31 Дж/(моль*К). Отношение m/M — это количество вещества, которое обозначают буквой ню и измеряют в молях. Тогда уравнение можно записать короче: p*V = ню*R*T. Один моль любого вещества содержит одинаковое число молекул — число Авогадро.

Связь с газовыми законами

Если масса газа не меняется, из уравнения следует объединённый газовый закон:

Из него получаются частные законы. При постоянной температуре получаем закон Бойля — Мариотта (p·V = const), при постоянном давлении — закон Гей-Люссака (V/T = const), при постоянном объёме — закон Шарля (p/T = const). Так уравнение Менделеева — Клапейрона оказывается самым общим.

Разбор примера

Найдём давление 2 моль газа в сосуде объёмом 0,02 м³ при температуре 300 К.

Физический смысл уравнения

Уравнение состояния показывает, что три макроскопических параметра газа — давление, объём и температура — не независимы: задав любые два из них при известной массе, мы однозначно определяем третий. Это позволяет предсказывать поведение газа при сжатии, нагревании или откачке. Например, при нагревании газа в закрытом сосуде растёт давление, а при увеличении объёма с сохранением температуры давление падает. Уравнение справедливо для разреженных газов, близких по свойствам к идеальному.

Частые ошибки. Температуру в уравнение всегда подставляют в кельвинах, а не в градусах Цельсия. Перевод выполняют по формуле T = t + 273. Объём должен быть выражен в кубических метрах, а давление — в паскалях, иначе ответ окажется неверным. Не забывайте переводить литры в кубические метры: 1 л = 0,001 м³.

Реальный газ: когда простой модели недостаточно

В идеальном газе пренебрегают собственным объёмом молекул и взаимодействием на расстоянии. У реального вещества эти эффекты существуют всегда; вопрос в том, достаточно ли они малы для нужной точности расчёта. При малой плотности газ часто приближённо подчиняется pV = νRT. При сильном сжатии и около перехода в жидкость отклонения становятся существенными.

Почему пар может конденсироваться

При температуре, допускающей сосуществование жидкости и пара, медленное изотермическое сжатие сначала повышает давление ненасыщенного пара. После достижения насыщения часть вещества переходит в жидкость. Пока обе фазы существуют в равновесии при неизменной температуре, давление насыщенного пара остаётся приблизительно постоянным. Количество вещества именно в газовой фазе при этом уменьшается.

Поэтому нельзя одновременно потребовать постоянную температуру, постоянное количество пара и постоянное давление на всём участке конденсации. Для применения pV = νRT нужно проверять, какое ν вы подставляете. Над жидкостью давление насыщенного пара зависит от вещества и температуры, а не только от объёма сосуда.

Пример на проверку модели

В герметичном цилиндре водяной пар медленно сжимают при одной температуре; часть пара уже конденсируется. Объём газовой области уменьшился вдвое. Обязано ли давление удвоиться? Нет. При равновесном двухфазном процессе давление остаётся давлением насыщения, а число молекул в газовой области уменьшается. До начала конденсации идеальная модель ненасыщенного пара могла бы приблизительно дать рост давления при сжатии.

Нельзя делать обратный вывод «любой газ при любой температуре можно сжатием превратить в жидкость». Вещество имеет критическую температуру, выше которой одной изотермической компрессии для появления границы жидкость–газ недостаточно. Для школьной задачи обычно явно указано, находится ли пар в равновесии с жидкостью.

Справочные материалы: Уравнение состояния идеального газа — исходная тема. Связанные уроки: Основы молекулярно-кинетической теории, Что такое влажность воздуха.

Кратко о главном

• Уравнение Менделеева — Клапейрона: p·V = (m/M)·R·T.
• Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль·К).
• Температуру подставляют только в кельвинах.
• Из уравнения следуют все частные газовые законы.