Математический маятник. Период колебаний
⚡ Физика · 9 класс
Формула периода математического маятника и пружинного маятника и от чего он зависит.
Что такое математический маятник
Математический маятник — это идеализированная модель колебательной системы: небольшое тело, которое можно считать материальной точкой, подвешено на лёгкой нерастяжимой нити. Реальные маятники, например тяжёлый шарик на тонкой длинной нити, близки к этой модели. Изучение математического маятника помогает понять общие закономерности свободных колебаний и научиться рассчитывать их период. Если отклонить такой маятник от положения равновесия и отпустить, он начнёт колебаться, причём возвращающую роль играет составляющая силы тяжести вдоль траектории.
Период математического маятника
Период — это время одного полного колебания, то есть время возвращения маятника в исходную точку с тем же направлением движения. Для математического маятника при малых отклонениях он вычисляется по формуле, которую вывел Христиан Гюйгенс:
T = 2π · корень(L / g)где L — длина нити, а g — ускорение свободного падения. У этой формулы есть замечательное свойство: период не зависит ни от массы груза, ни от амплитуды колебаний при малых углах. Зависит он только от длины нити и от того, на какой планете находится маятник, ведь ускорение свободного падения на Луне и на Земле разное. Это свойство называют изохронностью колебаний маятника.
Пружинный маятник
У пружинного маятника — груза, закреплённого на пружине, — период определяется массой груза и жёсткостью пружины:
T = 2π · корень(m / k)| Маятник | Период | От чего зависит |
|---|---|---|
| Математический | T = 2π · корень(L / g) | длина нити, ускорение свободного падения |
| Пружинный | T = 2π · корень(m / k) | масса груза, жёсткость пружины |
Разбор примера
Найдём период колебаний математического маятника длиной 1 метр. Ускорение свободного падения примем равным 10 метрам на секунду в квадрате, а число π — приблизительно 3,14.
T = 2 · 3,14 · корень(L / g);
T = 6,28 · корень(1 / 10);
корень(0,1) ≈ 0,316;
T ≈ 6,28 · 0,316 ≈ 2 с.Получилось около 2 секунд: за это время маятник совершает одно полное колебание. На таком постоянстве периода основаны маятниковые часы: длину маятника подбирают так, чтобы период был равен ровно одной или двум секундам, и тогда часы идут точно. Если же часы спешат или отстают, маятник можно слегка удлинить или укоротить.
Частые ошибки: думают, что период зависит от массы груза; забывают извлечь квадратный корень; путают формулы математического и пружинного маятников; применяют формулу при больших углах отклонения, где она уже неточна.
Практикум: как период зависит от длины
Возьмите небольшой тяжёлый груз, лёгкую нить, устойчивый штатив, линейку и секундомер. Крепление проверяет учитель; рядом с траекторией не должно быть людей и хрупких предметов. Длина L измеряется от точки подвеса до центра масс груза, а не только до его верхнего края.
- Установите выбранную длину. Отклоните нить на небольшой угол, например около 5°, и отпустите без толчка.
- Выберите легко узнаваемое положение и направление прохода. Запустите секундомер при его прохождении и отсчитайте N = 20 полных колебаний до такого же состояния.
- Вычислите T = t/N. Повторите отсчёт трижды при прежней длине и найдите среднее.
- Измените только длину, сохраняя груз и малую начальную амплитуду. Сравните T²/L.
| L, м | N | t₁,t₂,t₃, с | Среднее T, с | T²/L, с²/м |
|---|---|---|---|---|
| измерить | 20 | измерить | вычислить | вычислить |
Учебные данные для проверки обработки
В идеализированном примере при L = 0,25 м двадцать колебаний заняли 20 с, при L = 1,00 м — 40 с. Периоды 1 и 2 с; T²/L в обоих случаях 4 с²/м. Увеличение длины в четыре раза удвоило период, а не увеличило его вчетверо. Эти числа не выдаются за реальные измерения.
Погрешность и вывод
Если неопределённость суммарного времени Δt = 0,2 с, вклад отсчёта в ΔT при N = 20 составляет около 0,01 с. Но это не вся погрешность: важны реакция наблюдателя, точность длины, затухание и отклонение от малых углов. Счёт половины колебания вместо полного даст систематическую ошибку вдвое.
Для модели математического маятника T² = (4π²/g)L: график T²(L) приблизительно прямая через начало. По наклону k можно оценить g = 4π²/k. Вывод относится к условиям малых колебаний и выбранной установке; не называйте одно совпадение доказательством абсолютной точности закона.
Справочные материалы: Что такое математический маятник — исходная тема. Связанные уроки: Свободные и вынужденные механические колебания, резонанс, Графики движения.
Кратко о главном
- Математический маятник — материальная точка на лёгкой нерастяжимой нити.
- В модели математического маятника период не зависит от массы; независимость от амплитуды приближённо верна при малых углах.
- Период зависит от длины нити и ускорения свободного падения.
- Период пружинного маятника зависит от массы груза и жёсткости пружины.
- На постоянстве периода основаны маятниковые часы.